Kurzus nemzetközi vendég- és részidős hallgatóknak
- Kar
- Természettudományi Kar
- Szervezet
- TTK Analízis Tanszék
- Kód
- ergode1u0um17em
- Cím
- Ergodelmélet (ea)
- Tervezett félév
- Tavaszi
- ECTS
- 3
- Nyelv
- Oktatás célja
- Tudás: az Ergodelmélet matematikai megalapozása alapvető fogalmainak, módszereinek elsajátítása Képesség: az Ergodelmélet matematikai modelljének megértése, használata Attitűd: igény az alkalmazott matematikai tudás gyarapítására, új alkalmazott matematikai ismeretek megszerzésére, kompetenciák elsajátítására, kifejlesztésére. Törekvés a matematikai ismereteinek minél szélesebb körű alkalmazására Autonómia és felelősség: az Ergodelmélet témakörében elsajátított alapvető ismeretei felhasználásával képes önállóan megválasztani az alkalmazási problémák megoldására alkalmazható módszereket
- Tantárgy tartalma
- Példák. Konstrukciók. von Neumann L2 ergodtétel. Birkhoff–Hincsin pontonkénti ergodtétel. Poincaré visszatérési tétele és Ehrenfest példája. Hincsin tétele halmazok visszatéréséről. Halmos tétele a visszatéréssel ekvivalens tulajdonságokról. Ergodikussággal ekvivalens tulajdonságok. Indukált transzformáció mértéktartása és ergodikussága. Kac lemma. Kakutani–Rohlin lemma. Bernoulli shift, egységkör forgatásainak illetve a tórusz eltolásainak ergodikussága. Keverés (definíciók). Rényi tétele erősen keverő transzformációkról. Bernoulli shift erősen keverő. Koopman-von Neumann lemma. Gyenge keveréssel ekvivalens tulajdonságok. Banach elv. Ergodtétel bizonyítása a Banach elvvel. Integrálok differenciálása. Wiener lokális ergodtétele. Lebesgue terek és a feltételes várható érték tulajdonságai. Entrópia a fizikában és az információelméletben. Felosztás és egy transzformáció metrikus entrópiájának definíciója. Feltételes információ és entrópia. ,,Entrópia metrika". A feltételes várható érték mint L2-beli vetítés. Kolmogorov-Szináj tétele generátorokról. Krieger generátor tétele (bizonyítás nélkül).
- Számonkérés és értékelés
- kollokvium
- Ajánlott irodalom
- K. Petersen, Ergodic Theory, Cambridge Studies in Advanced Mathematics 2, Cambridge University Press, (1981). I. P. Cornfeld, S. V. Fomin and Ya. G. Sinai, Ergodic Theory, Springer Verlag, New York, (1981).