Kurzus nemzetközi vendég- és részidős hallgatóknak

Kar

Természettudományi Kar

Szervezet

TTK Algebra és Számelmélet Tanszék

Kód

algsza1u0um17gm

Cím

Algebrai számelmélet (gy)

Tervezett félév

Őszi

Meghirdetve

2026/27/1

ECTS

3

Nyelv

en

Oktatás célja

·      Tudás: A terület alapvető fogalmainak, eredményeinek és módszereinek értő ismerete. ·      Képesség: A terület ismereteinek alkalmazása, összefüggések átlátása, problémák megoldása. ·      Attitűd: Igény a matematikai tudás gyarapítására és a tanultak minél alaposabb megismerésére, törekvés az ismeretek minél szélesebb körű alkalmazására. Autonómia és felelősség: Matematikai kérdések megfogalmazása és elemzése önállóan, az alkalmazhatóságok korlátainak felelős értékelése.

Tantárgy tartalma

Kvadratikus reciprocitás. Egész elemek gyűrűbővítésben, egész zárt, nyom, norma, diszkrimináns, egész bázis. Dedekind gyűrűk, ideálelmélet, egyértelmű prímfaktorizáció. Osztálycsoport, összehasonlítás sémák Picard-csoportjával, rendjének Minkowski-féle becslése, Dirichlet tétele az egészek gyűrűjének egységeiről. Hilbert-féle elágazás-elmélet, a Galois-csoport felbontási és elágazási részcsoportjai. Körosztási testek, a Fermat-sejtés reguláris prímekre. Prímideáloknál vett lokalizálálás, diszkrét értékelésgyűrűk, telítés, a p-adikus számok teste, inverz limesz, direkt limesz. Ostrowski tétele Q telítéseiről. Hensel lemma, Teichmüller reprezentánsok. Lokális testek, p-adikus log és exp, multiplikatív csoport leírása. Witt gyűrűk. Hensel-féle testek, értékelések kiterjesztése. Elágazásmentes és szelíden elágazó bővítések explicit leírása, elágazási részcsoportok, Hasse–Herbrand függvény, kapcsolata a normával. A normák teste (NB). Lokális és globális Kronecker-Weber tétel (NB) és kapcsolatuk az osztálytestelmélettel. Szükséges előismeretek: bevezető csoport-, gyűrű- és Galois-elmélet

Számonkérés és értékelés

gyakorlati jegy

Irodalomjegyzék

Zábrádi Gergely, Algebrai számelmélet, jegyzet, https://zabradi.web.elte.hu/Jegyzetek/algszamjegyzet.pdf

Ajánlott irodalom

·       J. Neukirch, Algebraische Zahlentheorie, Springer (1992). ·       J.-P. Serre, Local fields, Graduate Texts in Math. 67, 2nd Ed.  (1995). ·       S. Lang, Algebraic Number Theory, Graduate Texts in Math. 110, 2nd Ed. (1994). W. J. Milne, Algebraic Number Theory, http://jmilne.org/math/CourseNotes/ant.html

Kurzus szakjai