Kurzus nemzetközi vendég- és részidős hallgatóknak

Kar

Természettudományi Kar

Szervezet

TTK Algebra és Számelmélet Tanszék

Kód

gyural1u0um17gm

Cím

Gyűrűk és algebrák (gy)

Tervezett félév

Őszi

ECTS

3

Nyelv

en

Oktatás célja

Tudás: A terület alapvető fogalmainak, eredményeinek és módszereinek értő ismerete. Képesség: A terület ismereteinek alkalmazása, összefüggések átlátása, problémák megoldása. Attitűd: Igény a matematikai tudás gyarapítására és a tanultak minél alaposabb megismerésére, törekvés az ismeretek minél szélesebb körű alkalmazására. Autonómia és felelősség: Matematikai kérdések megfogalmazása és elemzése önállóan, az alkalmazhatóságok korlátainak felelős értékelése.

Tantárgy tartalma

Asszociatív gyűrűk és algebrák. Konstrukciók: polinomok, formális hatványsorok, lineáris operátorok, csoportalgebrák, gráfalgebrák, szabad algebrák, tenzoralgebrák, külső algebrák. Struktúraelmélet: primitív gyűrűk, sűrűségi tétel, Jacobson-radikál, Amitsur, Snapper, Hopkins és Levitzki tétele, kommutativitási tételek. Modulusok direkt fölbontásai, egyértelműség, Azumaya tétele. Lokális gyűrűk. Injektív modulusok, injektív burok. Láncföltételek, Noether- és Artin-gyűrűk jellemzései injektív modulusok direkt összegeivel. Artin gyűrűk általánosításai: szemiperfekt és perfekt gyűrűk. Projektív modulusok direkt fölbontása, projektív fedő. Kategóriák, funktorok. Példák az algebrából és a topológiából. Természetes transzformációk. A kategorikus ekvivalencia fogalma.  Kovariáns és kontravaráns funktorok. A Hom és a tenzor funktorok alaptulajdonságai (nem kommutatív gyűrűkre). Adjungált funktorok. Preadditív kategóriák, funktorok egzaktsága, projektív, injektív és lapos modulusok. Morita-elmélet. Opcionális: Homologikus algebra. Lánckomplexusok, homológiacsoportok, lánchomotópia. Topologikus és algebrai példák. Homológiacsoportok hosszú egzakt sorozata. Szükséges előismeretek: jártasság az alapvető algebrai struktúrákban (pl. lineáris algebra, nem kommutatív gyűrűk, modulusok, Abel-csoportok, homomorfizmusok, Wedderburn–Artin-tétel)

Számonkérés és értékelés

(írásbeli vagy szóbeli) vizsga és gyakorlati jegy

Irodalomjegyzék

Az órai jegyzetek.

Ajánlott irodalom

Anderson, F.–Fuller, K.: Rings and categories of modules, Springer, 1974, 1995 Assem, I.–Simson, D.–Skowroński, A.: Elements of the representation theory of associative algebras, CUP, 2007 Herstein, I.: Noncommutative rings. MAA, 1968. Lam, T.Y.: A first course in non-commutative rings, Springer, 1991 Lam, T.Y.: Lectures on modules and rings, Springer, 1999

Kurzus szakjai